Conjecture de Grimm

En mathématiques, et en particulier en théorie des nombres, la conjecture de Grimm affirme que pour chaque élément dans un ensemble de nombres composés consécutifs, on peut lui adjoindre un nombre premier qui le divise. Cette conjecture fut publiée dans la revue American Mathematical Monthly, 76(1969) 1126-1128.

Énoncé

Supposons que n   1, n   2, …, n   k soient tous des nombres composés, alors il y a k nombres premiers distincts p_i tels que p_i divise n   i pour 1 ≤ i ≤ k.

Énoncé plus faible

Une version plus faible de la conjecture, quoique toujours non démontrée, s'énonce ainsi :

S'il n'y a aucun nombre premier dans l'intervalle ${\displaystyle [n 1,n k]}$, alors ${\displaystyle \prod _{x\leq k}(n x)}$ a au moins k diviseurs premiers.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Grimm's conjecture » (voir la liste des auteurs).
• (en) Richard K. Guy, « Grimm's Conjecture », dans Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2004, 3^e éd., 133-134, §B32

• Arithmétique et théorie des nombres